A comparação de tamanhos entre números reais é a base de toda a lógica matemática. Na reta numérica, os números reais correspondem unicamente a pontos. Observando a posição dos pontos, podemos perceber intuitivamente a ideia de "desigualdade".
Fatos básicos:
Fatos básicos:
- Se $a-b$ for positivo, então $a > b$;
- Se $a-b$ for igual a 0, então $a = b$;
- Se $a-b$ for negativo, então $a < b$.
Propriedades centrais de desigualdades:
1. Transitividade: $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. Adição: $a > b \iff a + c > b + c$
3. Multiplicação: $c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
1. Transitividade: $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. Adição: $a > b \iff a + c > b + c$
3. Multiplicação: $c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
$$a > b \iff a - b > 0$$
1. Coletar os termos do polinômio: um quadrado $x^2$, três tiras retangulares $x$, e dois quadrados unitários $1\times1$.
2. Comece a montá-los geometricamente.
3. Eles formam perfeitamente um retângulo maior e contínuo! A largura é $(x+2)$, e a altura é $(x+1)$.
QUESTÃO 1
Qual das seguintes representações sobre modelagem de relações de desigualdade está incorreta?
Velocidade máxima em uma rodovia de $40\text{ km/h}$ representada por $v \le 40$
Teor de gordura do iogurte $f$ não inferior a $2.5\%$ representado por $f > 2.5\%$
Soma dos dois lados de um triângulo maior que o terceiro lado representado por $a+b > c$
Segmento perpendicular $d_{\text{perp}}$ não maior que o segmento oblíquo $d_{\text{obl}}$ representado por $d_{\text{perp}} \le d_{\text{obl}}$
Correto! "Não inferior" significa "maior ou igual", devendo ser representado por $f \ge 2.5\%$.
Atenção às palavras-chave: "não inferior" inclui o caso de igualdade. Revise cuidadosamente o significado dos símbolos em cada alternativa.
QUESTÃO 2
O resultado da comparação entre $(x+3)(x+7)$ e $(x+4)(x+6)$ é:
$(x+3)(x+7) > (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) = (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6)$
Não pode ser determinado, depende do valor de $x$
Correto. Subtraindo: $(x^2+10x+21) - (x^2+10x+24) = -3 < 0$, portanto o primeiro termo é menor que o segundo.
Dica: Use o método da diferença. Expanda os dois polinômios, subtraia-os e observe o termo constante do resultado.
QUESTÃO 3
A base teórica mais fundamental para provar as propriedades 1, 3, 4 e 6 de desigualdades é:
Fato básico da comparação de tamanhos de números reais ($a > b \iff a - b > 0$)
Simetria e transitividade de igualdades
Monotonicidade de funções
Relações de área entre figuras geométricas
Correto. Todas as propriedades fundamentais de desigualdades são derivadas através da diferença e com base nas propriedades de sinal na operação com números reais.
Revise o início do curso: todos os raciocínios começam pelo sinal de $a - b$.
QUESTÃO 4
Se $x$ for um número real, a condição para que $\sqrt{x^2+x-12}$ seja definido é:
$x > 3$ ou $x < -4$
$x \ge 3$ ou $x \le -4$
$-4 \le x \le 3$
$x \in \mathbf{R}$
Correto. Para que uma raiz quadrada seja definida, o radicando deve ser não negativo, ou seja, $x^2 + x - 12 \ge 0$. A solução é $(x+4)(x-3) \ge 0$, logo $x \ge 3$ ou $x \le -4$.
O interior da raiz quadrada deve satisfazer $\ge 0$. Trata-se de um problema de desigualdade quadrática.
QUESTÃO 5
Se $a > b$ e $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, então obrigatoriamente:
$ab > 0$
$ab < 0$
$a > 0, b < 0$
$a < 0, b > 0$
Correto. De $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ resulta $\frac{b-a}{ab} > 0$. Como $a > b$, temos $b - a < 0$. Para que a fração seja maior que 0, o denominador $ab$ deve ser negativo.
Dica: Faça a subtração com denominador comum em $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ e combine com o sinal de $a - b$ para determinar o sinal de $ab$.
QUESTÃO 6
Se $a, b > 0$ e $ab = a + b + 3$, encontre a faixa de valores de $ab$.
$ab \ge 4$
$ab \ge 9$
$ab > 3$
$ab \ge 6$
Correto. De $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ obtemos $ab - 3 \ge 2\sqrt{ab}$. Substituindo $t = \sqrt{ab}$, temos $t^2 - 2t - 3 \ge 0 \Rightarrow t \ge 3$, logo $ab \ge 9$.
Use a desigualdade fundamental $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ para substituição e transformação.
QUESTÃO 7
Sobre as propriedades de desigualdades, qual afirmação abaixo está correta?
Se $a > b$ e $c > d$, então $ac > bd$
Se $a > b$, então $ac^2 > bc^2$
Se $a > b > 0$, então $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$
Se $a > b$ e $c < d$, então $a - c < b - d$
Correto. Como $a^2 > b^2 > 0$, ao tomar o inverso, o sentido da desigualdade muda.
Opção A falta do pressuposto de números positivos; Opção B quando $c = 0$, a igualdade se verifica; Opção D deveria ser $a - c > b - d$.
QUESTÃO 8
Dado $a > b$, o passo lógico correto para provar $\frac{a+b}{2} > b$ é:
Como $a > b$, então $a + b > 2b$, logo $\frac{a+b}{2} > b$
Como $b < a$, então $\frac{a}{2} < b$, logo não é válido
Obtido diretamente pela desigualdade fundamental
A igualdade ocorre apenas quando $a = b$
Correto. Utilize a propriedade 3 (adição): some $b$ a ambos os lados de $a > b$, obtendo $a + b > 2b$, depois aplique a propriedade 4 (multiplicação) dividindo por 2.
Este é um raciocínio simples baseado na propriedade aditiva de desigualdades.
QUESTÃO 9
Uma rodovia estabelece que a altura total do veículo e carga $h$ não pode exceder $4\text{m}$, sua representação matemática é:
$h < 4$
$h \le 4$
$h > 4$
$0 < h \le 4$
Correto. "Não pode exceder" inclui o caso igual a 4. Embora fisicamente $h > 0$, a descrição puramente matemática é $h \le 4$.
Palavra-chave: "não pode exceder".
QUESTÃO 10
Compare a área $S_1$ do círculo (com perímetro $L$) e a área $S_2$ do quadrado (com perímetro $L$):
$S_1 = S_2$
$S_1 > S_2$
$S_1 < S_2$
Não pode ser comparado, depende do valor de $L$
Correto. $S_1 = L^2/4\pi$, $S_2 = L^2/16$. Como $4\pi \approx 12.56 < 16$, quanto menor o denominador, maior o valor, logo a área do círculo é maior.
Calcule e compare os valores de $\frac{L^2}{4\pi}$ e $\frac{L^2}{16}$.
Desafio: Projeto ótimo de custo para reservatório
Modelagem e aplicação integrada de desigualdades
Deve-se construir um reservatório retangular sem tampa com volume de $1200 \text{ m}^3$ e profundidade de $6 \text{ m}$. O custo das paredes é de 95 yuan/$\text{m}^2$, e o custo do fundo é de 135 yuan/$\text{m}^2$. Como projetar o comprimento e a largura do reservatório para manter o custo total dentro de 70 mil yuans?
Tarefa 1
Estabeleça um modelo de desigualdade entre o custo total $y$ e o comprimento lateral $x$ da base.
Suponha que um lado da base tenha $x$ metros, então o outro lado será $\frac{1200/6}{x} = \frac{200}{x}$ metros.
A área do fundo é $200 \text{ m}^2$, com custo de $200 \times 135 = 27000$ yuans.
A área total das paredes é $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$.
O custo total $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$.
Exige-se $y \le 70000$.
A área do fundo é $200 \text{ m}^2$, com custo de $200 \times 135 = 27000$ yuans.
A área total das paredes é $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$.
O custo total $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$.
Exige-se $y \le 70000$.
Tarefa 2
Resolva a desigualdade e determine a faixa de valores para comprimento e largura (precisão de $0.1 \text{ m}$).
$27000 + 1140(x + \frac{200}{x}) \le 70000$
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
Reorganizando, $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$.
Utilizando a fórmula de raízes, $x \approx 6.4$ ou $x \approx 31.3$.
Portanto, o comprimento e a largura devem estar entre $6.4 \text{ m}$ e $31.3 \text{ m}$.
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
Reorganizando, $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$.
Utilizando a fórmula de raízes, $x \approx 6.4$ ou $x \approx 31.3$.
Portanto, o comprimento e a largura devem estar entre $6.4 \text{ m}$ e $31.3 \text{ m}$.
✨ Pontos Principais
Método da diferença,determine o sinal,relações de tamanhoficam claras.Multiplicando por número negativo,mude o sinal,lógica rigorosanão pode ser esquecido!
💡 Três etapas do método da diferença
Primeiro passo: "faça a diferença", segundo passo: "transforme" (geralmente por fatoração ou completamento de quadrados), terceiro passo: "determine o sinal".
💡 Cuidado com números negativos!
Quando multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, lembre-se sempre de inverter o sentido do sinal. Este é o erro mais comum.
💡 Pressupostos da desigualdade fundamental
Para usar $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$, é necessário: 1. Positividade ($a,b > 0$), 2. Constante (produto ou soma constante), 3. Igualdade (igualdade quando $a = b$).
💡 Pensamento de equivalência
$a > b \iff a - b > 0$ é uma equivalência bidirecional, frequentemente usada como o primeiro passo na transformação em problemas de prova.
💡 Conversão de linguagem cotidiana
"No máximo" corresponde a $\le$, "no mínimo" corresponde a $\ge$, "exceder" corresponde a $>$, "insuficiente" corresponde a $<$.